今回は東大入試平成18年前期の問2にしました。東大の確率問題の中でも、これは比較的簡単な問題のようです。

では(1)から。具体的な値に対して確率を求めてみろ、という問題です。こういった問題は、力に任せて全部書いてみるのが吉。という訳で早速書き出してみると、3パターンしか見つからない・・・。
(a) ×○○
(b) ××○○
(c) ×○×○
という訳で、これらの生起確率を求めればOK。問題文を更に噛み砕くと、
○○ もしくは ××　→ p
×○ もしくは ○×　→ (1-p)
ということが分かるので、(a)(b)(c)の生起確率はそれぞれ
(a) (1-p)p
(b) p(1-p)p
(c) (1-p)(1-p)(1-p)
となり、これらを足し合わせたのがP2となります。

(2)では、それの一般系を解くことになります。確率問題、起こりうるパターンの簡単な法則を見つける部分は全て日本語で考え、そのパターンの生起確率を求める時に初めて数式を使う、というのが簡単に解くコツです。さて、今回求めるPnの発生パターンを日本語で考えると、「最初が×、それ以降に○がn個あるパターン。2つ目の×は最後以外のどこかに挟まっていてもいいし、無くてもよい」
ということになります。結構シンプルですね。図で書くとこんな感じです。
(a) ×○○○・・・・○ → ×の後、nこの○が連続
(b) ×○・・・○×○・・・○　→最後以外のどこかに×が挟まる
あとはこれらの確率を計算するだけです。(a)は、最初の×○が(1-p)、以降は○がn-1個続くので、
生起確率はで求まります。次は(b)のパターンです。×がどこに挟まるかでn通りのパターンがあります。それぞれの確率も一緒に求めると
(b-1) ××○○○○・・・○ →
(b-2) ×○×○○○・・・○ →
(b-3) ×○○×○○・・・○ →
(b-4) ×○○○×○・・・○ →
中略
(b-n) ×○○○○・・・×○ →
こんな感じになります。これらを足し合わせたものがPnになります。(b-2)～(b-n)のn-1個の式は計算の順序を入換えると、実は同じ式になります。
これらを踏まえると、最終的な確率は
　
という感じになります。

前提条件さえ理解できれば、特に難しくない問題だったかと思います。このように日本語が多い確率問題は、できる限り日本語で考えてしまい、最後の最後で数式に直すのがポイントです。一般化したパターンをうまく見つけられるか(今回の場合は「○の間に×が1つ挟まる」)が(2)のような問題では重要となりますが、これは似た問題を解いて慣れるしかないですね。尚、立式の方法が分からない(なぜ各パターンの確率は掛け算で、最後の集計は足し算になるのか、など)場合は、問題集を解くというより解説書や教科書を読み直すことをお薦めします。この手の本には集合の概念などが書いてあって読みづらいのですが、実はこの「集合」が確率の理解に非常に役立ちますので、是非読んでみてください。