さて、続いて平成18年度(2)の問題についてです。
式をゴリゴリ解く可能性もありですが、なるべくなら図などで苦労かけずに解きたいもの。幸い、ベクトルの関係式(漸化式)が単純で、半径1の円上に点が乗るということで、図を描くのは簡単です。ちなみに、図は与えられた条件をなるべく全て表すように描くのが鉄則です。

で、描いてみたのが左側の図。描きながら気付くのが、PnはPn-1とPn+1のちょうど間に来る(角を2等分する)ことが分かります。これが1～３の3点であっても、2～4の3点であっても(恐らく)変わりません。従って、P1～P3について描いた図形とP2～P4について描いた図形が相似となる関係となり、P4はやはり半径1の円上に位置することになります。

正確な図を描き、PnがPn-1とPn+1の間に来ることに気付くことがこの問題の鍵です。このような図形問題は高校入試で散々やったかと思いますが、大学入試でも十分役立ちますね。忘れている方は、高校入試の参考書で図形に関する性質を一通り見直してみることをオススメします。